相轨迹

编辑:跌跤网互动百科 时间:2020-01-24 07:37:08
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相轨迹属于控制理论,其的作图方法可分为:解析法和图解法。
中文名
相轨迹
外文名
Phase trajectory
类    型
控制理论
属    于
控制理论

相轨迹作图方法

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相轨迹的作图方法可分为:解析法和图解法,其中解析法主要针对可直接由方程求出 关系的、相对比较简单的系统,而图解法则针对不能直接由方程求出 关系的系统,原则上说,此法对任何非线性系统都适用,图解法根据具体的作图方法不同,可进一步分为等倾斜线法 , δ 法。下面介绍这三种方法。

相轨迹解析法

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(A) 直接法。即由式( 8 - 16 )直接求取 和 的关系。
(B) 先分别求出 , 然后消去 t ,但大多数情况下,要消去 t 比较困难。
例如对于一线性二次系统: ,可分别采用上述两种方法进行计算,有:
( A )相轨迹为椭圆
( B ) , ,消去 t 后,结果与( A )相同。

相轨迹等倾斜线法

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等倾斜线法的基本思想是:考虑相轨迹通过相平面上的点( ),令 , 则 是常数,即为相轨迹通过该点的斜率,以该点处的斜线近似代替该点附近实际的相轨迹,并依此法光滑连接所有的短线段,即可得到系统的相轨迹,如图 8 - 10 。具体绘制时,可先考虑斜率 固定,则有: (8-20)
式( 8 - 20 )表示相轨迹上斜率为 的各点的连线,此连线称为等倾斜线。然后在这些等倾斜线上作出与其相应的短线段。在不同的等倾线上均画出短线段,并进行光滑连接,就得到所求的相轨迹和相平面图。

相轨迹特点

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a)  在等倾线为直线时较方便.若为直线,则也可由 先画出等倾线,然后再在各等倾线上画出斜率为 的短线段。
3.法
基于将相轨迹近似认为由一系列园弧连接而成的思想。考虑系统:
(8-21)
式中, 可以是线性的也可以是非线性的连续、单调函数,则有: (8-22)
令 ,则 (8-23)
在 附近, 常数,则
( 8 - 24 )
其中: ;因此,在 相平面上 相轨迹是圆曲线,圆心位于( , 0 ),半径 为 ( , 0 )和( , )两点间的距离,即 。
图8-11
4 、由相轨迹求系统的时间响应
根据相平面的定义, (8-25)
对于有解析解的情况,在 上 时,应能求出时间 t :
对于无解析解的情况,则可用园弧或相轨迹平均斜率近似计算 t :
若在增量 范围内,只要 比 的平均值小得多,即 ,则可用 近似,得到:
通过逐段计算,也可得到 的关系曲线。
5 、一阶系统和特殊二阶系统相轨迹
1) 一阶系统 一阶系统的运动方程可写成: (8-26)
在 ( ) 相平面上相轨迹是直线。根据 T 和 M 的不同取值,可得到图 8-13 所示的相轨迹。
图 8-13
2) 特殊二阶线性系统 更一般的二阶线性系统的运动方程形式: (8-27)
若令N=0,特殊形式的二阶线性系统的运动方程可写成: (8-28)
下面简单分析在不同的M下的几种特殊相轨迹。
1 .抛物线: (无奇点) 2.园或椭园: (奇点为原点)直线: (奇点为平衡线,且与横坐标平行。) α相线:
图8-14 特殊形式的二阶线性系统的特征根和相轨迹
词条标签:
理学